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Giovanni Girolamo Saccheri nacque a Sanremo il 5 Settembre 1667, e probabilmente di lui non sapremmo nulla o quasi se non fosse per la benemerita opera di Eugenio Beltrami: questi fu il primo professore di meccanica razionale della novella Università di Roma capitale, nel 1873, e più in generale fu tra i massimi esperti di geometria differenziale, disciplina che dette lustro a molti nomi di matematici italiani, nel periodo a cavallo tra Ottocento e Novecento. Beltrami riscoprì e mise in risalto un’opera semisconosciuta di Saccheri, che è quella per cui il nostro Giovanni Girolamo viene adesso frequentemente ricordato. Di certo, nei suoi primi anni di vita, lungo la riviera ligure, il piccolo Girolamo non si poneva ancora l’affanno della memoria dei posteri: figlio di un avvocato, mostrò però fin dall’infanzia doti precoci di intelligenza e predisposizione allo studio. Una tale buona predisposizione doveva certo essere assecondata, e in quei tempi, a Genova come nella maggior parte delle altre città italiane, il metodo più diretto e semplice per ottenere una educazione era quello di affidarsi ai Gesuiti. Girolamo entrò quindi appena diciottenne, nel 1685, nel novero della Compagnia di Gesù, dalla quale non si separò mai durante il resto della vita. Del resto, la sezione genovese era da qualche anno molto attiva nell’istruzione di superiore qualità: e lo stesso Saccheri, dopo i primi due anni passati pienamente da studente, cominciò ad insegnare in qualche corso, pur continuando i suoi studi di teologia e filosofia nel Collegio. Collegio che, del resto, costituì il primo nucleo della futura Università di Genova: l’edificio in cui Saccheri studia è Palazzo Balbi, che oggi è parte integrante della struttura universitaria genovese. Ma anche tra i collegi della Compagnia di Gesù esistono differenze, e per meglio formare il promettente giovane, i padri superiori decidono di mandarlo al Collegio di Brera, a Milano, che rappresentava senza dubbio l’eccellenza della formazione superiore gesuitica.

Saccheri, già in grado di tenere corsi agli studenti più giovani, continua a Brera la sua vita da studente, affrontando i corsi usuali di retorica, grammatica, filosofia e teologia. Ed è solo a Milano che viene incoraggiato (da Tommaso e Giovanni Ceva, fratelli matematici, anche se Tommaso era soprattutto poeta) ad affrontare un po’ di matematica, leggendo gli Elementi di Euclide; siamo nel 1690, Girolamo ha già ventitré anni ed è ancora del tutto ignaro di aritmetica e geometria.

Nel 1694 Girolamo viene ordinato prete, in quel di Como, ma quasi subito dopo viene nuovamente inviato presso un altro famoso Collegio di Gesuiti, quello di Torino. Qui entra anche nella diplomazia e nei favori di Vittorio Amedeo II di Savoia. Insegna a Torino per tre anni, dal 1694 al 1697, e sono anni importanti per la sua carriera scientifica: è a Torino che scrive il suo primo opuscolo importante, la Logica Demonstrativa; il libretto, di fatto, contiene il corso di logica che Saccheri teneva a Torino, ma viene pubblicato sotto il nome di uno studente di Saccheri, il conte di Gravere.

Non è molto che Girolamo si interessa di matematica, ma il re sabaudo si affida già a lui ogni volta che c’è qualche calcolo complesso da eseguire, e la sua prima opera è già di orientamento logico-matematico. In realtà, l’importanza della Logica è superiore a quella che può apparire a prima vista: l’opera si interessa infatti soprattutto di definizioni, e delle possibili differenze all’interno delle stesse: Saccheri intuisce bene la differenza tra quelle che lui chiama “definitiones quid nominis” da quelle che battezza invece “definitiones quid rei”, stanti le prime come semplici attribuzioni di nomi e le seconde come descrizioni di enti, di cose effettivamente costruibili. Soprattutto, Saccheri mostra che tale distinzione è ben presente ad Euclide stesso, che infatti definisce inizialmente senza remore elementi come punti e rette, ma nel definire il quadrato non ne presuppone l’esistenza prima di averne data una dimostrazione. Non si tratta di meri dettagli: diversi errori nella logica classica discendono proprio dall’errato utilizzo dei due tipi di definizione, e diversi logici moderni riconoscono a Saccheri il merito di aver chiaramente distinto i due diversi tipi di definizione. Giovanni Vailati, che riscoprì l’opera: “Questo gli riserva un posto eminente nella storia della logica moderna”; George Halsted, matematico americano: “È davvero alto il merito di aver per primo inquadrato questo difficile argomento, e di aver fornito un’analisi dei possibili diversi tipi di errore logico che il mancato riconoscimento delle differenze può generare”.”

Da Torino passò poi ad un nuovo Collegio della Compagnia di Gesù, a Pavia. Qui restò fino alla fine della sua vita, insegnando come sempre teologia e filosofia ma, finalmente, entrando in possesso anche della cattedra di matematica. Morì a Milano, nell’Ottobre del 1733, dopo aver pubblicato anche un libro di statica, intitolato appunto Neo-Statica.

L’opera di Saccheri che Beltrami riscoprì nel 1853 era stata pubblicata per la prima volta un secolo e mezzo prima, proprio in quel 1733 che è anche l’anno della morte dell’autore. Si tratta di “Euclides ab omni naevo vindicatus”, il più celebre dei molti testi che, nella storia della matematica, intendeva dimostrare il Quinto Postulato di Euclide, quello delle parallele. Il titolo stesso dell’opera dimostra in maniera aggressiva quale sia l’opinione di Saccheri sul quinto postulato: è senz’altro un difetto, un neo, un’impurità. E riuscire a dimostrarlo renderebbe l’opera somma di Euclide finalmente perfetta e definitiva, senza più nulla a fare ombra su quel libro geniale. Del resto, anche se è questione davvero stranota e ripetuta in quasi ogni testo di matematica, il Quinto Postulato stona effettivamente nello stile euclideo. Euclide stesso sembra rinviare il più possibile l’uso del postulato, e la sua formulazione appare indiscutibilmente troppo complessa per essere classificabile come affermazione comune o intuitiva. La sua storia è così ricca e le sue citazioni così frequenti che ormai chiunque frequenti anche solo in parte la matematica si è in qualche modo assuefatto alla sua esposizione, ma è soprattutto il confronto con i quattro postulati confratelli a mostrare la sua anomala differenza. Per questo preferiamo riportarli tutti e cinque insieme:

1 - Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una ed una sola retta.
2 - Si può prolungare una retta oltre i due punti indefinitamente.
3 - Dato un punto e una lunghezza, è possibile descrivere un cerchio.
4 - Tutti gli angoli retti sono uguali.
5 - Se una retta taglia altre due rette determinando dallo stesso lato angoli interni la cui somma è minore di quella di due angoli retti, prolungando le due rette, esse si incontreranno dalla parte dove la somma dei due angoli è minore di due retti.

Il quinto è indubbiamente pecora nera nel gregge, vaso di coccio tra vasi di ferro, anello debole della catena: lo si nota anche solo dalla lunghezza dell’enunciato. Gli altri quattro sono, oltre che ragionevolmente evidenti, guidati soprattutto dall’intento di mostrare come si costruisce un disegno, o meglio ancora, quali siano le regole lecite per intraprendere un disegno geometrico. Solo in questo senso è interpretabile il quarto, ad esempio, che parla dell’esistenza di molti “angoli retti” e ne impone l’uguaglianza: per Euclide gli angoli retti si costruiscono, e bisogna postularne la congruità. Se il concetto di angolo retto discendesse da una definizione teorica, il quarto postulato non avrebbe necessità di esistere. E l’aspetto costruttivo è ben presente anche negli altri: il disegno della retta tra due punti, la sua estendibilità all’infinito, la possibilità di costruire una circonferenza. Il quinto, invece, non c’è davvero nulla da fare: sembra proprio un teorema.

Il frontespizio dell’opera

Saccheri ha dalla sua l’esperienza fatta con la Logica Demostrativa: si rende bene conto che il metodo che ha perfezionato nella sua opera può essergli d’aiuto nella definitiva dimostrazione del Quinto Postulato, e per questo inizia l’azione che, nelle sue intenzioni, deve rendere una volta per tutte immacolata l’opera euclidea. Oltre a ciò, Saccheri è anche a conoscenza di alcuni tentativi precedenti di dimostrazione, come quello di Wallis e quello di Nasir al Din al Tusi. Forse conosce anche il tentativo di Omar Khayyam, e noi ci rallegriamo nello scoprire come a quel tempo, tra Ceva e Khayyam, poesia e matematica convivessero bene insieme.

Il suo metodo è molto logico, se così si può dire: parte semplicemente da un segmento AB, traccia su di esso le perpendicolari CA e DB, e infine unisce i punti C e D, ottenendo un quadrilatero, che poi sarà chiamato “quadrilatero di Saccheri”. A questo punto considera le tre possibilità in merito agli angoli superiori del quadrilatero, quelli in corrispondenza dei vertici C e D: essi potranno essere entrambi retti, entrambi acuti i entrambi ottusi. Conscio del fatto che dimostrare che quegli angoli sono retti equivarrebbe a dimostrare il Quinto Postulato, Saccheri si riserva di procedere per assurdo, dimostrando l’inconsistenza delle altre due possibilità e quindi ottenendo la dimostrazione cercata. Questa ricostruzione della geometria che presuppone di non fare uso del Quinto Postulato viene chiamata da Saccheri “Geometria Assoluta”.

Saccheri non ha fretta: da queste premesse comincia a inferire e a dedurre teoremi e proprietà, procedendo con rigore invidiabile. Un percorso di logica e attenzione che deve essergli certo costato molta fatica, ma che è proceduto con sicurezza per gran parte dell’opera. Procede per proposizioni, una dopo l’altra, e arriva alla trentaduesima senza trovare alcuna contraddizione, per quanto evidentemente desideri trovarla. In questa ricerca costruisce senza rendersene conto due diverse geometrie, una discendente dall’assunzione che gli angoli superiori del suo quadrilatero siano acuti, l’altra dall’ipotesi che siano ottusi. In termini diversi e moderni, Saccheri ha gettato le basi di quelle che saranno poi chiamate Geometria Ellittica e Geometria Iperbolica: le due principali geometrie non euclidee.

Solo che non se ne accorge. Al contrario dei principi di Serendip, Saccheri cerca qualcosa di importante (la dimostrazione del Quinto Postulato) e nel farlo gira intorno a qualcosa di ancora più grande (le geometrie non euclidee, che contengono al loro interno la dimostrazione che Euclide non aveva bisogno d’essere vendicato, e che il Quinto Postulato è effettivamente un postulato), senza rendersi conto di aver trovato un tesoro.

Infatti, lo butta via: dopo la trentaduesima proposizione, si convince d’aver trovato la contraddizione cercata (una sorta di comportamento che ripugnerebbe alle rette), e di aver eliminato il difetto dell’opera di Euclide. Non è così: Girolamo non è baciato dalla serendipità, anzi, sembra essere beffeggiato da essa.

Ciò non di meno, le prime settanta pagine di “Euclides ab omni naevo vindicatus” sono stupefacenti per costruzione, eleganza e rigore. Sono settanta pagine di perfetta geometria non-euclidea, scritte decenni prima di Gauss, Lobachevsky, Bolyai, Riemann, Poincarè; e, per somma sfortuna, rimaste del tutto ignote a questi maestri delle geometrie non euclidee. Corrado Segre, nel commentarlo dice: “Le prime settanta pagine (a parte poche frasi isolate) fino alla Proposizione 32 compresa, costituiscono un insieme di acume logico e geometrico che può definirsi perfetto”, e Halstead conferma: “In merito alla parte costruttiva del lavoro di Saccheri, le prime settanta pagine, fino alla proposizione 32, tutti gli esperti hanno espresso la loro entusiastica ammirazione, il loro piacere nel vederne l’eleganza, lo squisito costrutto artistico”.

Poteva andargli meglio, a Girolamo. Però, in fondo, seppure un po’ in ritardo, non gli è andata poi troppo male.

 

da: http://rudimatematici-lescienze.blogautore.espresso.repubblica.it/2015/09/05/5-settembre-1667-buon-compleanno-giovanni/

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